Question

如图，在直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AA′=AB=，AD=2BC=2，直线AD与面ABB'A'所成角为45°．
（Ⅰ）求证：DB⊥面ABB'A'；
（Ⅱ）求证：AD'⊥B'C；
（Ⅲ）求二面角D-AB'-B的正切值．

Answer

（I）根据面与面垂直，得到直线AB为直线AD在面ABB'A'上的射影，得到∠DAB=45°，根据线与线垂直，做出线与面垂直．
（II）做出辅助线，取AD中点E，连接CE、A'E，得到线与线垂直，根据直四棱柱ABCD-A'B'C'D'侧面AA'D'D为矩形，得到线与线垂直．
（III）首先做出二面角的平面角，过点B作BF⊥AB'交AB'于F，连接DF，得到AB'⊥面DBF，得到∠BFD为所求二面角的平面角，在可解的三角形中做出角的正切值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵面ABD⊥面ABB'A'，∴直线AB为直线AD在面ABB'A'上的射影，
∴∠DAB=45°，由，AD=2知，
DB⊥AB，∴DB⊥面AB'A'
（Ⅱ）证明：取AD中点E，连接CE、A'E，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴BC∥AE且BC=AE，
∴EC∥AB∥A'B'且EC=A'B'，∴A'E∥B'C，
又直四棱柱ABCD-A'B'C'D'侧面AA'D'D为矩形，
，
∠AA'E=∠AD'A'，∠AA'E+∠D'AA'=∠AD'A'+∠D'AA'=90°
∴AD'⊥A'E，∴AD'⊥B'C
（Ⅲ）∵DB⊥面ABB'A'且
过点B作BF⊥AB'交AB'于F，连接DF，
则AB'⊥面DBF，
∴AB'⊥DF，∠BFD为所求二面角的平面角，
又
∴，即二面角D-AB'-B的正切值为．