Question

将圆x²+y²-2x+4y=0按向量平移后得到圆O，直线l与圆O相交于A、B，若在圆O上存在点C，使，求直线l的方程及对应的点C坐标．

Answer

先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值，即得点C坐标．
【解析】
将圆的方程x2+y2-2x+4y=0化为（x-1）2+（y+2）2=5，
∴圆x2+y2-2x+4y=0按向量平移后得到圆x2+y2=5，
∵，又，
∴AB⊥OC，，
∴直线l的斜率，设直线l的方程为，
由得 5x2+4mx+4m2-20=0，△=16m2-20（4m2-20）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴，∵点在圆上，∴
解得，满足△=16m2-20（4m2-20）＞0
当时，l的方程为2x-4y+5=0，点C坐标为（-1，2）；
当时，l的方程为2x-4y-5=0，点C坐标为（1，-2）．