Question

已知函数f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a为常数．
（I）当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）求的单调区间．

Answer

（I）先把f'（x）=ln（1+x）+-a＞0转化为a＜ln（1+x）+，再利用导函数研究出不等式右边的单调性，进而求出其最值即可求出实数a的取值范围；
（II）先求出函数g（x）的导函数，分情况得到导函数值为正和为负对应的变量的取值范围，进而求出其单调区间．
【解析】
（I）由f'（x）=ln（1+x）+-a＞0
得a＜ln（1+x）+，
令h（x）=ln（1+x）+，则h'（x）=+．
当x∈[1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上递增，
∴a＜h（1）=+ln2．
∴实数a的取值范围是（-∞，+ln2）．
（II）g（x）=ln（1+x）+-a，x∈（-1，+∞）
则g'（x）==
①当a＞1时，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是减函数，
x∈（a-2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
②当a≤1时，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以：当a＞1时，减区间为（-1，a-2），增区间为（a-2，+∞）；
当a≤1时，增区间为（-1，+∞）．