Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*满足：
①对于任意a，b∈N^*，a＜b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
②对任意n∈N^*，都有f[f（n）]=3n．
（I）证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1），f（2），f（3）的值；
（III）令．

Answer

（I）由已知条件中对任意a，b∈N*，a≠b，我们不妨令a＜b，则可将已知中af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）变形为（a-b）（f（a）-f（b））＞0由a＜b判断出f（a）-f（b）的符号，结合单调性的定义，即可作出结论．
（II）由对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．我们不妨令f（1）=a，然后分a＜1，a=1，a＞1三类进行讨论，再由a∈N*，可以求出a值，进而求得f（2），f（3）的值；
（III）an=f（3n），则易得f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1，an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an，a1=f（3）=6．分析可知数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列再利用放缩法可证明 成立．
【解析】
（I）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
（III）f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1，an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an，a1=f（3）=6．
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴an=6×3n-1=2×3n（n=1，2，3）．
于是 ，
显然 ，
另一方面3n=（1+2）n=1+Cn1×2+Cn2×22+…+Cnn×2n≥1+2n，
从而 ．
综上所述，．