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若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为...

若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为曲线E上的两点,点manfen5.com 满分网
(I)求曲线E的方程;
(II)若t=6,直线AB的斜率为manfen5.com 满分网,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线,求圆N的方程;
(III)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l上,求证:t与manfen5.com 满分网均为定值.
(1)由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y. (2)由题得直线AB的方程是x-2y+12=0联立抛物线的方程解得A(6,9)和B(-4,4),进而直线NA的方程为,由A,B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为,可求N点的坐标,进而求出圆N的方程. (3)设A,B两点的坐标,由题意得过点A的切线方程为又Q(a,-1),可得x12-2ax1-4=0同理得x22-2ax2-4=0所以x1+x2=2a,x1x2=-4.所以直线AB的方程为 所以t=-1.根据向量的运算得=0. 【解】(Ⅰ)依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离,所以点C的轨迹为抛物线,曲线E的方程为x2=4y. (Ⅱ)直线AB的方程是,即x-2y+12=0. 由及知,得A(6,9)和B(-4,4) 由x2=4y得,. 所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3. 直线NA的方程为,即.① 线段AB的中点坐标为,线段AB中垂线方程为,即.② 由①、②解得. 于是,圆C的方程为, 即. (Ⅲ)设,,Q(a,-1).过点A的切线方程为, 即x12-2ax1-4=0.同理可得x22-2ax2-4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=-4. 又=,所以直线AB的方程为, 即,亦即,所以t=-1. 而,, 所以 = =.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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