Question

已知函数（）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=2x+1垂直时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（III）求证：．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可；
（II）讨论a与1的大小，然后利用判定导函数f′（x）的符号，从而确定函数f（x）的单调区间，f′（x）＞0与f′（x）＜0确定单调性；
（III）由（II）及（I）知：当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]max=f（0）=0，即当x∈（-1，0）∪（0，1）时，恒有ln（x+1）＜x成立，由k∈N*知：，得，累积加即可证得结论．
【解析】
，x＞-1，（2分）
（I）由题意可得2f'（1）=-1，即解得a=1，（3分）
（II）由知：（5分）
①当时，，在区间和（0，+∞）上，f′（x）＜0；
在区间上，f′（x）＞0．（6分）
故f（x）的单调递减区间是和（0，+∞），单调递增区间是．（7分）
②当a≥1时，，在区间（-1，0）上f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上f'（x）＜0（8分）
故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．（9分）
综上所述：
当时，函数f（x）的单调递减区间是和（0，+∞），单调递增区间是；
当a≥1时，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）（10分）
（III）由（II）及（I）知：当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]max=f（0）=0
即当x∈（-1，0）∪（0，1）时，恒有ln（x+1）＜x成立
由k∈N*知：
∴；得，
∴，
即（14分）