Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1对∀x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

Answer

（1）先利用f（x）是实数集R上的奇函数求出a，再利用g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数求出g（-1）即可．
（2）利用（1）的结论把问题转化为（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立，再利用图形找到t满足的条件即可．
（3）把研究根的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，借助于图形可得结论．
【解析】
（1）f（x）=ln（ex+a）是奇函数，则ln（e-x+a）=-ln（ex+a）恒成立．
∴（e-x+a）（ex+a）=1.1+ae-x+aex+a2=1，∴a（ex+e-x+a）=0，∴a=0．
又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1，

（2）只需-λ-sin1≤t2+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤-1），则
∴而t2-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．

（3）由（1）知f（x）=x，∴方程为，
令，
∵，
当x∈（0，e）时，f′1（x）≥0，f1（x）在x∈（0，e]上为增函数；
x∈[e，+∞）时，f′1（x）≤0，f1（x）在x∈[e，+∞）上为减函数，
当x=e时，．
而f2（x）=（x-e）2+m-e2，
∴函数f1（x）、f2（x）在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当，即时，方程无解．
②当，即时，方程有一个根．
③当，即时，方程有两个根．