Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（I）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答时：
（I）首先讨论n=1和n≥2时两种情况，结合通项与前n项和之间的关系通过作差、变形化简即可获得问题的解答；
（II）利用（1）的结论写出相邻的一项对应的关系式，注意保证n≥2．用作差法可分析知数列an为等差数列，进而即可获得数列的通项公式；
（III）首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1-bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．
【解析】

（I）证明：当n=1时，a13=a12，∵a1＞0，∴a1=1．
当n≥2时，a13+a23+…+an3=Sn2，
a13+a23+…+an-13=Sn-12，
两式相减知：an3=Sn2-Sn-12=an（2a1+2a2+…+2an-1+an），
∵an＞0
∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+2an-an
∴an2=2Sn-an
综上可知：∴an2=2Sn-an，n∈N*．
（II）∵an2=2Sn-an
∴当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1，
∴an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
又∵an+an-1＞0，∴an-an-1-1=0
∴an-an-1=1
所以数列an为首项为1，公差为1的等差数列．
∴数列{an}的通项公式为：an=n，n∈N*．
（III）假设存在λ使得对任意的n∈N*，有bn+1＞bn．
∵an=n，n∈N*
∴bn=3n+（-1）n-1•λ，
∴bn+1-bn=[3n+1+（-1）n•λ•2n+1]-[3n+（-1）n-1•λ•2n]
∴bn+1-bn=2•3n-3λ（-1）n-1•2n＞0
∴对任意的n∈N*恒成立．
当n=2k-1，k∈N*时，对任意的k∈N*恒成立．
∴λ＜1
当n=2k，k∈N*时，对任意的k∈N*恒成立．
∴λ＞-
∴-＜λ＜1，又∵λ≠0且λ∈Z
∴λ=-1．
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*有bn+1＞bn成立．