Question

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m-1，且离心率为，得m=4．由此能求出椭圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m-1
∴，解得m=4．
∴椭圆的方程为．（4分）
（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．（5分）
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立l和椭圆的方程：
，．消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，
∴△=（6k）2-4×（4+k2）×5=16k2-80＞0，解得k2＞5．且，，
∴==
由已知有＜整理得13k4-88k2-128＜0，解得，
∴5＜k2＜8．（9分）
∵，即（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x，y），
∴x1+x2=λx，y1+y2=λy
当λ=0时，，，显然，上述方程无解．
当λ≠0时，，．
∵P（x，y）在椭圆上，
∴，
化简得．由5＜k2＜8，可得3＜λ2＜4，
∴λ∈（-2，-）∪（，2）．即λ的取值范围为（-2，-）∪（，2）．（12分）