Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1=2S_n+3-n，数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）是否存在实数λ，使数列{b_n}为等差数列或等比数列？若存在，求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由Sn+1=2Sn+3-n，得Sn=2Sn-1+3-（n-1）（n≥2），所以an+1=2an-1，n≥2，an+1-1=2（a1-1），故，由此能求出通项公式an．
（II）由b1=3，bn+1=λbn+an-1，得b1=3，bn+1=λbn+2n．b2=3λ+2，b3=3λ2+2λ+4，若数列{bn}为等差数列，3λ2-4λ+3=0，由于关于λ的方程无实根，故不存在实数λ，使数列{bn}为等差数列；若数列{bn}为等比数列，则（3λ+2）2=3（3λ2+2λ+4），求得，bn=3×2n-1．
【解析】
（I）由Sn+1=2Sn+3-n，得Sn=2Sn-1+3-（n-1）（n≥2），
∴Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）-1，即an+1=2an-1，n≥2，
∴an+1-1=2（a1-1），
∵a1=3，∴S2=2S1+3-1=8，a2=5，∴，
∵，
∴{an-1}是以a1-1=2为首项，2为公比的等比数列，
∴an-1=2×2n-1=2n，
∴an=2n+1．
（II）由b1=3，bn+1=λbn+an-1，得b1=3，bn+1=λbn+2n．
b2=3λ+2，
b3=3λ2+2λ+4，
①若数列{bn}为等差数列，则2b2=b1+b3，得3λ2-4λ+3=0，
∵△=（-4）2-4×3×3=-20＜0，
∴关于λ的方程无实根，
∴不存在实数λ，使数列{bn}为等差数列．
②若数列{bn}为等比数列，则b22=b1•b3，
得（3λ+2）2=3（3λ2+2λ+4），
求得，此时b2=6，q=2，
∴bn=3×2n-1，
代入bn+1=λbn+an-1检验，此式成立．
∴当且仅当时，数列{bn}为等比数列，且bn=3•2n-1．