Question

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

f'（x）为f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（-3，-3）构成的直线的斜率问题．由图象可得结论．
【解析】
由导函数的图象得，函数f（x）在[-2，0]上递减，函数值从1减小到-1，
在[0，4]上递增，且函数值从-1增大到1，
故f（2a+b）＜1⇒-2＜2a+b＜4，①a＞0，②b＞0，③
满足约束条件①②③的平面区域如下图；
又因为 表示的是可行域中的点与（-3，-3）的连线的斜率．
所以当（-3，-3）与A（0，4）相连时斜率最大，为，
当（-3，-3）与（2，0）相连时斜率最小为 ，
故所求 的范围是
故选A．