Question

设S_n是数列{a_n}的前n项的和，且S_n=2a_n+n²-8．
（Ⅰ）证明数列{a_n-2n-3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer

（Ⅰ）利用递推公式an+1=Sn+1-Sn=2an+1+（n+1）2-8-2an-n2+8，可得an+1=2an-2n-1，变形可得an+1-2（n+1）-3=2（an-2n-3），（n∈N*）可得数列{an-2n-3}是等比数列，从而可求数列的通项公式；
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）可得，利用等比数列的和公式及对数列的放缩可证．
【解析】
（Ⅰ）由题设，an+1=Sn+1-Sn=2an+1+（n+1）2-8-2an-n2+8，
∴an+1=2an-2n-1，∴an+1-2（n+1）-3=2（an-2n-3），（n∈N*）
由题设∵a1=2a1+12-8，∴a1=7，∴a1-2×1-3=2，
∴数列{an-2n-3}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an-2n-3=2n，∴an=2n+2n+3．
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）得，∴
∴=