Question

设椭圆E（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面积是e，求椭圆E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），由AF1⊥F1F2，设A（-c，y），（y＞0），由点A在椭圆上，知，从而得，直线AF2的方程为，由此能求出椭圆E的离心率e．
（Ⅱ）由题设，从而能得到所求椭圆方程．
（Ⅲ）设B（x1，y1），C（x2，y2），将直线y=x+m代入并化简得3x2+4mx+2m2-2=0，由韦达定理和根的判别式能够导出存在满足条件．
【解析】
（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），∵AF1⊥F1F2，不妨设A（-c，y），（y＞0），
又∵点A在椭圆上，∴，从而得，直线AF2的方程为，
整理可得b2x+2acy-b2c=0，由题设，原点O到直线AF2的距离为，
即，将c2=a2-b2代入上式化简得a2=2b2，∴a2=2（a2-c2），，．
（Ⅱ）由题设，∴，所求椭圆方程为．
（Ⅲ）设B（x1，y1），C（x2，y2），将直线y=x+m代入并化简得3x2+4mx+2m2-2=0，由韦达定理知，，
且△=（4m）2-4×3×2（m2-1）＞0，∴，由题设∠BF2C是钝角，
即．∴（x1-1）（x2-1）+y1y2＜0，∴2x1x2+（m-1）（x1+x2）+m2+1＜0，
∴，∴3m2+4m-1＜0，
解得，上式满足，
故存在满足条件．