Question

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；    
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α； 
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，可由线面平行的条件进行证明；   
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β可由面面垂直的判定定理进行判断；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，本题可由面面垂直的性质进行判断；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断．
【解析】
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α，a⊥b，a⊥α，可得出此b∥α或b⊂α，再b⊄α，可得b∥α由是真命题；   
②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，是真命题；
③若a⊥β，α⊥β，由图形即可得出a∥α或a⊂α，是正确命题； 
④由a⊥b，a⊥α可推出b∥α或b⊂α，再有b⊥β，可得出α⊥β，故是真命题．
故选D．