Question

已知曲线y=x lnx（x＞）在点（t，t lnt）处的切线l交x轴于点A，交y轴于点B，△AOB（O为坐标原点）的面积为S．
（Ⅰ）试写出S关于t的函数关系式；
（Ⅱ）求面积S的最小值；
（Ⅲ）若S≥对于t＞恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据曲线在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt再设A（m，0），B（0，n），得出关于t，m，n的方程得，从而写出S关于t的函数关系式即可；
（2）记，先求导数，利用导数研究其单调性及最值，从而得出面积S的最小值为；
（3）由，得对恒成立．记，求出其导数，利用职权导数研究它的单调性，从而求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）曲线在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt，（1分）
设A（m，0），B（0，n），
则（2分）
解得
所以，注意到时，1+lnt＞0，
故为所求．（4分）
（2）记，则，
∵，∴时，S'＜0；时，S'＞0，
即函数S=g（t）在上单调递减，在上单调递增，（6分），
所以面积S的最小值为，当且仅当时取到．（8分）
（3）由，及1+lnt＞0得，对恒成立．
记，则，
当，即a＜0或a≥e时，u'（t）＞0恒成立，
此时u（t）在上单调递增，∴（10分）
解得a＜0或a≥2e2+2e，
当，即0＜a＜e时，，
所以函数u（t）在上单调递减，在上单调递增，
此时，∴解得a∈ϕ，
综上，a＜0或a≥2e2+2e为所求．（12分）