Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（-，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）用坐标表示直线PA与PB的斜率因为直线PA与PB的斜率之积为定值-，可得即轨迹方程为．
（Ⅱ）讨论斜率为0与斜率不存在时不合题意，设直线方程为y=k（x-1），利用根与系数的关系表示MN的中点，则线段MN的中垂线m的方程为
则直线m与y轴的交点又可解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1）．
【解析】
（Ⅰ）由题意，
整理得，所以所求轨迹E的方程为，
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点，
由消y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
由得
所以，
则线段MN的中垂线m的方程为：，
整理得直线，
则直线m与y轴的交点，
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，
当且仅当RM⊥RN，
即，
，①
由②
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1），
综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．