Question

已知函数，f（x）在x=1处的切线的斜率为-1，
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）是否总存在实数m，使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）求导，根据f（x）在x=1处的斜率求出a的值，在根据导数判断函数的单调性，画出表格．
（2）根据（1）式求出g（x）的最大值和最小值，根据最值的范围求出m的取值范围．
【解析】
（1）【解析】
f'（x）=a2x2+6ax+8，f'（1）=a2+6a+8=-1得a=-3，则f（x）=3x3-9x2+8x（3分）
f'（x）=9x2-18x+8=（3x-2）（3x-4）；；∴；递减区间为（7分）
（2）由（1）得

x -1 （-1，） （，） （，2） 2
f'（x） + - +
f（x） -20 增 减 增 4

所以当x1∈[-1，2]时，-20≤f（x1）≤4，（9分）
假设对任意的都存在x1∈[-1，2]x∈[0，1]使得g（x）=f（x1）成立，
设g（x）的最大值为T，最小值为t，则（11分）
又g′（x）=9x2+3m2＞0，所以当x∈[0，1]时，
T=g（1）=1+3m2-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（15分）