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如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点...

manfen5.com 满分网如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.
(1)要证DM∥平面APC,只需证明MD∥AP(因为AP⊂面APC)即可. (2)在平面ABC内直线AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC,从而证得平面ABC⊥平面APC; (3)因为BC=4,AB=20,求出三棱锥的高,即可求三棱锥D-BCM的体积. 证明:(I)由已知得,MD是△ABP的中位线 ∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC ∴MD∥面APC;(4分) (II)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点 ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥面PBC(6分)∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC,(8分) ∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC;(10分) (III)由题意可知,MD⊥面PBC, ∴MD是三棱锥D-BCM的高, ∴.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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