Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（1）求P点的坐标；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出F1关于l的对称点为F，进而利用F1的坐标求得的值，同时把F1F的中点代入直线方程求得n和m的关系式，联立方程求得n和m，进而求得F的坐标．
（2）根据椭圆的定义可求得2a=PF1+PF2=PF+PF2进而利用两点间的距离公式求得a，根据c的值求得b，则椭圆的方程可得．
（3）假设存在两定点，并设出坐标，分别表示出QT和QS的斜率表示出k，把椭圆的方程代入，对于x∈（-，）恒成立联立方程求得k，s和t，求得两定点的坐标．
【解析】
（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，
解得，，即．
由，解得．
（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2
=，所以a=．又c=1，
所以b=1．所以椭圆C的方程为．
（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQt•kQs=k（k为定值），
即•，将代入并整理得
（*）
．由题意，（*）式对任意x∈（-，）恒成立，
所以，
解之得或．
所以有且只有两定点（，0），（-，0），
使得kQt•kQs为定值-．