Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．

Answer

（1）利用f（x）=g（x）+h（x）和f（-x）=g（-x）+h（-x）求出g（x）和h（x）的表达式，再求出p（t）关于t的表达式即可．
（2）先有x∈[1，2]找出t的范围，在把所求问题转化为求p（t）在[，]的最小值．让大于等于m2-m-1即可．
（3）转化为关于p（t）的一元二次方程，利用判别式的取值，再分别讨论即可．
【解析】
（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得，．
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵，．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，
∴，．
由，则t∈R，
平方得，∴，
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．
（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴．
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于恒成立，
∴对于恒成立，
令，则，
∵，∴，故在上单调递减，
∴，∴为m的取值范围．
（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1，
若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，
方程①的判别式△=4m2-4（m2-m+1）=4（m-1）．
1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．
2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，
方程①有两个实根，
即②，
只要方程②无实根，故其判别式，
即得③，且④，
∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．
综上，m的取值范围为m＜2．