Question

设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b＜c+h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a²+b²＞c²+h²；②a³+b³＜c³+h³；③a⁴+b⁴＞c⁴+h⁴；④a⁵+b⁵＜c⁵+h⁵．
其中正确结论的序号是    ；进一步类比得到的一般结论是    ．

Answer

由a+b＜c+h成立，我们可以类比给出a3+b3＜c3+h3；a4+b4＜c4+h4；a5+b5＜c5+h5等，再逐一分析它们的真假，再根据其中的规律，归纳猜想出一般性的结论．
【解析】
在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA．
于是an+bn=cn（sinnA+cosnA），cn+hn=cn（1+sinnAcosnA）．an+bn-cn-hn=cn（sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA）=cn（sinnA-1）（1-cosnA）＜0．
所以an+bn＜cn+hn（n∈N*）．