Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，a₃=8；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer

（1）直接把条件用首项和公比表示出来，求出首项和公比即可求数列{an}的通项公式；
（2）先求数列{bn}的通项公式及前n项和为Sn，再代入Sn+n•2n+1＞50整理即可求出Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
【解析】
（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有，解之得或；（4分）
又{an}单调递增，∴，
∴an=2n．（6分）
（2）依题意，，（8分）
∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①，
∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n2n+1②，
∴①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=；（10分）
∴Sn+n•2n+1＞50即为2n+1-2＞50，∴2n+1＞52，
∵当n≤4时，2n+1≤25=32＜52．
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．（12分）