Question

如图所示，已知直线l的斜率为k且过点Q（-3，0），抛物线C：y²=16x，直线与抛物线l有两个不同的交点，F是抛物线的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点．
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求k的取值范围；
（3）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰过坐标原点，若存在，求出动点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由抛物线定义知|PF|=|PB|⇒|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|，当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|PA|+|PF|的最小值是8．
（2）．
（3）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，设B（x1，y1），C（x2，y2），由以BC为直径的圆恰过坐标原点有，x1x2+y1y2=0，把y=kx+b代入y2=16x得k2x2+2（bk-8）x+b2=0，由韦达定理．又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+bk（x1+x2）+b2．由此知动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）必过定点（16，0）．
【解析】
如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，
（1）由抛物线定义知|PF|=|PB|⇒|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|
（折线段大于垂线段），当且仅当A，P，C三点共线取等号．
由题意知|AC|=8，即⇒|PA|+|PF|的最小值是8（4分）
（2）（5分）
（3）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，
显然k≠0，b≠0，设B（x1，y1），C（x2，y2），由以BC为直径的圆恰过坐标
原点有⇒x1x2+y1y2=0①（9分）
把y=kx+b代入y2=16x得k2x2+2（bk-8）x+b2=0
由韦达定理．②
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+bk（x1+x2）+b2．③
②代入③得．④
②④代入①得（12分）
⇒动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）必过定点（16，0）
当kBC不存在时，直线x=16交抛物线于B（16，-16），C（16，16），仍然有，
综上：存在点M（16，0）满足条件（15分）