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已知圆M:(x-m)2+(y-n)2=γ2及定点N(1,0),点P是圆M上的动点...

已知圆M:(x-m)2+(y-n)22及定点N(1,0),点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足manfen5.com 满分网=2manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0.
(Ⅰ)若m=-1,n=0,r=4,求点G的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若动圆M和(Ⅰ)中所求轨迹C相交于不同两点A、B,是否存在一组正实数m,n,r使得直线MN垂直平分线段AB,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)先利用向量间的关系求出点Q为PN的中点以及|PG|=|GN|,可得点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆进而求出点G的轨迹C的方程; (Ⅱ)先假设存在,利用点差法(把点的坐标代入椭圆后两方程作差)求出直线的斜率和中点坐标之间的关系,再利用直线MN垂直平分线段AB求出中点横坐标,与条件相比较可得结论. 【解析】 (Ⅰ)∵, ∴点Q为PN的中点, 又∵, ∴GQ⊥PN或G点与Q点重合. ∴|PG|=|GN|.(2分) 又|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|PM|=4. ∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,且a=2,c=1. ∴,∴G的轨迹方程是.(5分) (Ⅱ)【解析】 不存在这样一组正实数,下面证明:(6分) 由题意,若存在这样的一组正实数,当直线MN的斜率存在时,设之为k, 故直线MN的方程为:y=k(x-1), 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点D(x,y), 则, 两式相减得:,①(8分) 注意到,且, 则.② 又点D在直线MN上, ∴y=k(x-1),代入②式得:x=4, 因为弦AB的中点D在(1)所给椭圆C内, 故-2<x<2,这与x=4矛盾. 所以所求这组正实数不存在.(11分) 当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=1, 则此时y1=y2,x1+x2=2, 代入①式得x1-x2=0,这与A,B是不同两点矛盾. 综上,所求的这组正实数不存在.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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