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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件: ①f(x)在D内单调递增...

对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①f(x)在D内单调递增或单调递减;
②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
(1)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数manfen5.com 满分网是否为闭函数?并说明理由;
(3)若manfen5.com 满分网是闭函数,求实数k的取值范围.
(1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解. (2)判断其在(0,+∞)是否有单调性,再据闭函数的定义判断; (3)根据闭函数的定义一定存在区间[a,b],由定义直接转化求解即可. 【解析】 (1)由题意,y=-x3在[a,b]上递减, 则解得(4分) 所以,所求的区间为[-1,1];(5分) (2)取x1=1,x2=10,则, 即f(x)不是(0,+∞)上的减函数. 取, , 即f(x)不是(0,+∞)上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减, 从而该函数不是闭函数;(9分) (3)若是闭函数,则存在区间[a,b], 在区间[a,b]上,函数f(x)的值域为[a,b], 即,∴a,b为方程的两个实数根, 即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实根(11分) 当k≤-2时,有,解得,(13分) 当k>-2时,有,无解,(15分) 综上所述,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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