Question

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（ ）
A．[12，16）
B．[8，16）
C．
D．

Answer

先根据等比中项性质可知（a2）2=a1•a3=4，进而根据a1+a3=5求得a1和a3，进而根据q2=求得q．根据a1a2+a2a3+…+anan+1是数列{anan+1}的前n项和，且数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列．进而可得前n项和的表达式为Sn=（1-），可知Sn＜，由已知{an}是递减等比数列可知{Sn}的最大项为S1，进而得到答案．
【解析】
（a2）2=a1•a3=4，a1+a3=5，
∴a1和a3是方程x2-5x+4=0的两个根，解得x=1或4
∵{an}是递减等比数列，∴a1＞a3，
∴a1=4，a3=1
∴q2==
∵{an}是递减等比数列，∴q＞0
∴q=
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=a12q+a12q3+a12q5…+a12q2n-1==（1-）＜
∵{an}是递减等比数列，
∴{Sn}的最小项为S1=8
∴a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是
故选C