Question

已知各项都不为零的数列{a_n}满足，，n∈N^*．
（Ⅰ） 求证数列{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若c₁=1，（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求S_n的最小值．

Answer

（Ⅰ）、根据题中已知条件可以推导出，即可证明数列{}是等差数列，将代入等差数列中即可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）、根据题中已知条件先求出cn的表达式，然后求出cnan+1的表达式，即可求出Sn的表达式，有Sn的表达式可知当n=1时，Sn的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由，
∴，即，（2分）
∴是首项为，公差为1的等差数列，（3分）
∴
∴，（4分）
（Ⅱ）∵（n+3）cn+1=（n+2）cn，
∴，
∴
=，（6分）
∴，（8分）
∴Sn=c1a2+c2a3+…+cnan+1
=[（-）+（-）+（）+…+（）+（）]
=
=，（10分）
∵Sn在（0，+∞）上是增函数，（11分）
∴当n=1时，Sn有最小值为．（12分）