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已知动点H到直线x-4=0的距离与到点(2,0)的距离之比为. (Ⅰ) 求动点H...

已知动点H到直线x-4=0的距离与到点(2,0)的距离之比为manfen5.com 满分网
(Ⅰ) 求动点H的轨迹E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且manfen5.com 满分网?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.
(Ⅰ)设动点H(x,y),,由此能求出动点H的轨迹E的方程. (Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),且,当圆的切线不垂直x轴时,设该圆的切线方程为y=kx+m,与x2+2y2=8联立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,再由根的判别式和韦达定理能够得到所求的圆.当切线的斜率不存在时,切线,与椭圆x2+2y2=8的两个交点为或,满足.由此知存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)且. 【解析】 (Ⅰ)设动点H(x,y)(1分) ∴(3分) ∴动点H的轨迹E的方程为x2+2y2=8,(4分) (Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)且, ①当圆的切线不垂直x轴时,设该圆的切线方程为y=kx+m, 与x2+2y2=8联立方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, ∴△=8(8k2-m2+4)>0, ∴,(5分) ∴,(6分) ∵, ∴x1x2+y1y2=0, ∴, ∴3m2-8k2-8=0, ∴8k2=3m2-8,(7分) ∴对任意k,符合条件的m满足, ∴,即或,(8分) ∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线, ∴所以圆的半径为, ∴, ∴所求的圆为,(9分) 此时该圆的切线y=kx+m都满足或,分 ∴所求的圆为,(10分) ②当切线的斜率不存在时,切线, 与椭圆x2+2y2=8的两个交点为或, 满足,(11分) 综上,存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)且.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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