Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1求通项公式，然后验证a1=S1=1，不符合上式，因此数列{an}是分段数列；
（2）先写出数列{bn}的通项公式，应用错位相减法，求出Tn．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5
∵a1=1不适合上式，
∴
（2）证明：∵．
当n=1时，，
当n≥2时，，①．②
①-②得：=
得，
此式当n=1时也适合．
∴N*）．
∵，
∴Tn＜1．
当n≥2时，，
∴Tn＜Tn+1（n≥2）．
∵，
∴T2＜T1．
故Tn≥T2，即．
综上，．