Question

已知函数f（x）=-x²+4，设函数．
（1）求F（x）表达式；
（2）解不等式1≤F（x）≤2；
（3）设mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）能否小于0？

Answer

（1）由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数f（x）的解析式即得．
（2）先对x的值进行分类讨论：当x＞0时，当x＜0时，分别解不等式，最后综合上述不等式的解即可；
（3）确定m，n的符号代入相应的解析式依据其形式进行判断．因为 m，n的符号有两个组合，又两种情况下解题结论是一样的，故只证其一种．
【解析】
（1）F（x）=；（2分）
（2）当x＞0时，解不等式1≤-x2+4≤2，得≤x≤；（2分）
当x＜0时，解不等式1≤x2-4≤2，得-≤x≤-．（2分）
综合上述不等式的解为≤x≤或-≤x≤-．（2分）
（3）∵mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0，又m+n＞0，∴m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，（2分）
∴F（m）+F（n）=-m2+4+n2-4=n2-m2＜0，
即F（m）+F（n）能小于0．（4分）