Question

如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，ABCD是平行四边形且  ．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求PA与平面PBC所成的角．

Answer

（1）取AD中点为O，由已知中△PAD为正三角形，易得PO⊥AD，再由平面PAD⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，故可以以O为坐标原点建立空间坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出直线AD与直线PB的方向向量，代入向量数量积公式，即可得到他们的方向向量数量积为0，进而得到AD⊥PB；
（2）求出直线PA的方向向量及平面PBC的法向量，代入线面夹角的向量法公式，求出线面夹角的正弦值，进而得到直线PA与平面PBC所成的角．
【解析】
取AD中点为O
∵△PAD为正三角形
∴PO⊥AD（1分）
又面PAD⊥面ABCD且交线为AD
∴PO⊥面ABCD（2分）
又在平行四边形ABCD中AB=BD∴OB⊥AD
∴建立坐标系如图：为x轴，为y轴，为z轴（3分）
（1）证明：又，
∴设PA=4，则，则（4分）
∴A（2，0，0），D（-2，0，0），B（0，，0），C（-4，，0），P（0，0，）（5分）
∴，（6分）
∴（7分）
∴AD⊥PB（8分）
（2）设平面PBC的法向量为
则，
令y=2，得（10分）
设与所成角为θ，则（11分）
即∴（12分）
∴与所成角为60（13分）
∴与平面PBC所成角为30（14分）