Question

已知函数f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且f（x）的一个极值为-4
（1）求p、q的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有3个不同的实根，求t的取值范围；
（3）令g（x）=f′（e^x）+x-（t+12）e^x，是否存在实数M，使得t≤M时g（x）是单调递增函数．若存在，求出M的最大值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据函数求导公式求函数导数，判断函数的单调性，画图，根据图表判断函数的单调性．
（2）根据函数有3个不同的实根，判断函数极值的正负，函数的图象应与x轴有三个交点，所以根据函数图象的大致走向判断极值，判断t的取值范围．．
（3）先求出导数，判断函数的单调性，再利用恒成立问题求最值，用到均值不等式．
【解析】
（1）设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）
由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x（2分）f'（x）=3x2-4ax+a2=（x-a）（3x-a）
∵f'（a）=0≠-4，∴（3分）
于是，∴a=-3
∴f（x）=x3+6x2+9x∴p=6，q=9（4分）f'（x）=（x+3）（3x+3）

x （-∞，-3） -3 （-3，-1） 1 （-1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大 ↘ 极小 ↗

∴f（x）的单调递增区间是：（-∞，-3），（-1，+∞）
单调递减区间是：（-3，-1）（6分）
（2）由（1）知f（x）在x=-3处取得极大值f（-3）=0，在x=-1处取得极小值f（-1）=-4
作f（x）的大致形状及走向如图所示：易知当t∈（-4，0）时，f（x）=t有3个不同的实根．（9分）
（3）g（x）=f'（ex）+x-（t+12）ex=3e2x+12ex+9+x-（t+12）ex=3e2x-tex+x+9g'（x）=6e2x-tex+1（11分）
若g（x）在R上递增，即g'（x）≥0，当x∈R恒成立（12分）
即（当x∈R时恒成立）（13分）
由于，当且仅当，即时取到
∴（14分）
∴M最大值为（15分）