Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer

（1）欲证AE⊥平面BCE，由题设条件知可先证BF⊥AE，CB⊥AE，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得∠BGF是二面B-AC-E的平面角，在△BFG中求解即可；
（3）由题设，底面三角形ACD的面积易求，关键是求高，过点E作EO⊥AB交AB于点O，求得OE的长度即可，易求．
【解析】
（1）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE
∵二面角D-AB-E为直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）连接BD交AC交于G，连接FG
∵正方形ABCD边长为2．∴BG⊥AC，BG=
∵BF⊥平面ACE．由三垂线定理的逆定理得
FG⊥AC．∴∠BGF是二面B-AC-E的平面角（7分）
由（1）和AE⊥平面BCE
又∵AE=EB∴在等腰直角三角形AEB中，BE=
又∵Rt△BCE中，EC==
BF==∴Rt△BFG中sin∠BGF===
∴二面角B-AC-E的正弦值等于（10分）
（3）过点E作EO⊥AB交AB于点O，OE=1
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD
∴（14分）