Question

设函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1，则方程f （x）=x的根的个数是（ ）
A．无穷个
B．有限个
C．没有或者有限个
D．没有或者无穷个

Answer

根据条件“函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1”可得f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x，然后讨论 f（0）是否为0，从而得到结论．
【解析】
∵函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1，
∴f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x  
要么f（0）=0，方程f （x）=x的根的个数无穷个 
要么f（0）不等于0，方程f （x）=x无解
故选 D．