Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer

（I）要证明线与线垂直，根据所给的直三棱柱的侧棱与底面垂直和根据三条边长得到的勾股定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直．
（II）要证明线面平行，根据线面平行的判定定理，首先证明线与线平行，要写清楚两条线段的位置，得到结论．
（III）以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，构造向量，根据线段的比值，得到向量的坐标，设出法向量，求出法向量，根据向量所成的角做出二面角．
证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于E，DE．
因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，
所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，
所以DE∥AC1．
因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，
所以AC1∥平面B1CD．
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B（3，0，0），A（0，4，0），A1（0，0，c），B1（3，0，4）．
设D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因为点D在线段AB上，且，即．
所以a=2，，．
所以，，．
平面BCD的法向量为．
设平面B1CD的法向量为，
由，，得，
所以，y=2，．
设二面角B-CD-B1的大小为θ，
所以．
所以二面角B-CD-B1的余弦值为．