Question

设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．

Answer

（I）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围．
（II）设出A，B，P的坐标，根据求得x1和x2的关系式，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，联立方程求得a．
【解析】
（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①
所以
解得0＜a＜且a≠1．
双曲线的离心率
．
∵且a≠1，
∴且
即离心率e的取值范围为．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）
∵，
∴．
由此得．
由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
所以．
x1•x2=．
消去x2，得
由a＞0，所以a=．