Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点，一条渐近线方程为，其中a_n是以4为首项的正项数列，数列c_n的首项为6．
（I）求数列C_n的通项公式；
（II）若不等式对一切自然数n恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（I）由双曲线方程得：Cn=an+an+1，由一条渐进线方程为和an是以4为首项的正项数列得到an的通项公式化简，进而推出数列Cn的通项公式；
（II）先把Cn的通项公式代入到不等式左边，错位相减得，把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立，即要loga（2x+1）≥0，讨论a的取值得到x的范围．
【解析】
（I）由双曲线方程得：Cn=an+an+1，又因为一条渐近线
∴
∴Cn=3•2n
（II）令S=++…+=++…+
由错位相减得
故原不等式恒成立
∴loga（2x+1）≥0
（i）当a＞1时，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）当
∴