Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

Answer

法一：（Ⅰ）要证平面VAB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；
（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．求出，使得直线BC与平面VAB所成的角为．
法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
（Ⅰ） 建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）求出平面VAB的一个法向量，利用，求出使得直线BC与平面VAB所成的角为的θ的值．
解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，
又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连接BH，
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意，所以
在Rt△CHD中，；
在Rt△BHC中，，
∴，
∵，∴，
故当时，
直线BC与平面VAB所成得角为．

解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，
于是，，，．
从而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z）
则由，得
可取，
又，
于是=，
即，
∵，∴，
故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．

解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），，，，，
于是，，．
从而，即AB⊥DC，
同理，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由得
取n=（tanθ，0，1），
又，于是，
即．
又∵，∴．
故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．