Question

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5n⁺…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

Answer

解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2…，n；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3n+4m+…+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数n．
解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．
（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0时，证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，
因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，
则当m=k+1时，∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，
所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得，
于是=，m=1，2，n．
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知，当n≥6时，，∴．
即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42=52，等式成立；
当n=3时，33+43+53=63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x＞-1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx． ①
（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，
因为x＞-1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．
于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，
所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵，
∴，
而由（Ⅰ），，
∴．
（Ⅲ）【解析】
假设存在正整数n≥6使等式成立，
即有． ②
又由（Ⅱ）可得
=，与②式矛盾．
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．
下同解法1．