Question

若函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0则f（2010）=    ．

Answer

利用特值，求出f（0），f（1）的值，令y=1，确定出f（x+1）与f（x）的关系，然后利用递推关系求出结果．
【解析】
y=0时 f（x）=f（x）+2f2（0）
解得f（0）=0
x=0，y=1时
f（1）=f（0）+2f2（1）=2f2（1）
因f（1）≠0
所以f（1）=y=1时  f（x+1）=f（x）+2f2（1）=f（x）+2（）2
所以f（x+1）=f（x）+故f（2010）=f（2009+1）=f（2009）+=f（2008）++=f（2008）+（）×2
=…=f（1）+（）×2009
=+（）×2009
=×2010
=1005
故答案为：1005．