Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（x）在x=1处可导且f'（1）=2，对任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），则（1）f（1）=    （2）f（x）=    ．

Answer

（1）根据对任意a，b∈R+都有f（ab）=af（b）+bf（a），令a=b=1代入函数的关系式得到f（1）=f（1）+f（1），移项得到结果．
（2）令a=x，b=，再利用导数f'（1）=2，可以求得．
【解析】
（1）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意a，b∈R+都有f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=1，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）f（x）在x=1处可导且f'（1）=2，
f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=x，b=，∴f（1）=xf（）+
即xf（）+=0 ①，从而易得f（x）=2xlnx，
故答案为（1）0；（2）2xlnx．