Question

在数列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求证：数列a_n+n是等比数列；     （2） 求数列的前n项和为S_n．

Answer

（1）由题意数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，有递推关系构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求数列an+n是等比数；
（2）有（1）知数列的通项公式，根据通项公式的特点，利用错位相减法即可求其前n项和．
【解析】
（1）∵an=2an-1+n-2，
∴an+n=2（an-1+n-1）    
∴数列{an+n}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：an+n=2n即：an=2n-n，
∴
∴=
令
则②
①-②得：
=．
∴，
∴．