Question

已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设f（x）=m+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）对∀x＞0恒成立，求函数f（x）的解析式；
（3）证明：1n（n!）＞2n-4（n∈N，n≥2）

Answer

（1）由条件构造函数，进而把不等式问题转化为函数的最值问题，求导，从而得到a与b的关系；
（2）待定系数法求函数的解析式，注意不等式中等号成立的条件，是解答此题的关键；
（3）借助于（2）的结论来证明（3），利用放缩法达到证明不等式的目的．
【解析】
（1）设f（x）=alnx-b（x-1），
易知f（1）=0，由已知f（x）≤0恒成立，
所以函数f（x）在x=1处取得最大值．∴f'（1）=0，∴a=b
又∵a＞0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意，
即关系式为a=b．（3分）
（2）∵a=1，∴b=1∴恒成立，
令x=1，有0≤m+n≤0，∴m+n=0（5分）∴，
即对∀x＞0恒成立，∴须1-m=-1，即m=2∴函数（7分）
（3）由（2）知：（9分）
∴=
即（12分）