Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1（ k为正整数），其中a₁=16．设正整数数列{b_n}满足：，当n≥2时，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项；
（Ⅲ）记，证明：对任意n∈N^*，．

Answer

（Ⅰ）在点（ak，ak2）处的切线方程为：y-ak2=2ak（x-ak），当y=0时，解得，所以，由a1=16，知a2=8，a3=4，由此能推导出b1，b2，b3，b4的值．
（Ⅱ）猜想：bn=2•3n-1，再由数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由，得，所以，=，故．
【解析】
（Ⅰ）在点（ak，ak2）处的切线方程为：y-ak2=2ak（x-ak），
当y=0时，解得，所以，
又∵a1=16，∴a2=8，a3=4，
a4=2
n=2时，，
由已知b1=2，b2=6，得|36-2a3|＜1，
因为b3为正整数，所以b3=18，同理b4=54..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：bn=2•3n-1（5分）
证明：①n=1，2时，命题成立；
②假设当n=k-1与n=k（k≥2且k∈N）时成立，
即bk=2•3k-1，bk-1=2•3k-2．
于是，
整理得：
由归纳假设得：
因为bk+1为正整数，所以bk+1=2•3k
即当n=k+1时命题仍成立．
综上：由知①②知对于∀n∈N*，有bn=2•3n-1成立（10分）
（Ⅲ）证明：由③
得④
③式减④式得⑤
⑥
⑤式减⑥式得
=-1+2
=1+2•
=
=
则．（16分）