Question

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），则有，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x1，y1），F（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，再由根的判别式和l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°，得，由此能够求出直线l的斜率k的值．
（Ⅲ）解方程组得，，S四边形AEBF=2S△BOE+2S△FOA=|BO|•x1+|AO|•y1，由此能还应出S四边形AEBF的最大面积．
【解析】
（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y）
则有化简得：（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x1，y1），F（x2，y2）⇒（3+4k2）x2+16kx+4=0△=（16k）2-16（3+4k2）＞0⇒或，（6分）
因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得，x1x2+y1y2=0x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0
解得：（满足或）（8分）
（Ⅲ）解方程组得；
即，S四边形AEBF=2S△BOE+2S△FOA=|BO|•x1+|AO|•y1（10分）====
因为所以（当且仅当时取等号）
即S四边形AEBF的最大面积为（当时取等号）（12分）