Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，边长为1，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求点C到平面A₁EB的距离．

Answer

（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，根据EC∥OD，且EC=OD，得到四边形ECOD为平行四边形，故EO∥CD，CD∥平面A1BE．
（Ⅱ） 证明CD⊥平面A1ABB1 ，可得EO⊥平面A1ABB1，故有EO⊥AB1 ，由正方形的两对角线的性质可得 AB1⊥A1B，
 从而证得 AB1⊥平面A1BE．
 （Ⅲ）点C到平面A1EB的距离等于点D到平面A1EB的距离，由（Ⅱ）知，平面A1EB⊥平面ABB1A1，易求距离为 =，运算得到结果．
证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，
且．  又E是CC1中点，则EC∥BB1且，即EC∥OD，且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形，所以EO∥CD． 又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．

（Ⅱ） 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以BB1⊥平面ABC．
因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD． 由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A1ABB1．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1，所以EO⊥AB1．
因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．  又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，所以AB1⊥平面A1BE．
（Ⅲ）点C到平面A1EB的距离等于点D到平面A1EB的距离，由（Ⅱ）知，平面A1EB⊥平面ABB1A1，
易求距离为 ==．