Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．
（I）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

Answer

（Ⅰ）取CD中点M，证明四边形EFOM为平行四边形，得到 FO∥EM，从而证明FO∥平面CDE．
（Ⅱ） 证明平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM，证明CD⊥平面EOM，可得CD⊥EO，进而证得EO⊥平面CDF．
证明：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．
在矩形ABCD中，OM∥BC，且 OM=BC，又 EF∥BC，且 EF=BC，
则 EF∥OM，EF=OM，连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM．
又 FO不在平面CDE内，且 EM在平面CDE内，∴FO∥平面CDE．
（Ⅱ）证明：连接FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且 EM=CD= BC=EF，因此，平行四边形EFOM为菱形，从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以，EO⊥平面CDF．