(I)由题意及△ABD为正三角形,和平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB,利用面面垂直的判定定理即可得证;
(II)由(I)的过程及直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1⊥面ABCD.利用三垂线定理的逆定理及条件得到二面角的平面角,然后在三角形中求解即可;
(III)由题意及平面A1ED⊥面ABB1A1的性质定理得到FG是点F到平面A1ED的距离,然后在三角形中解出即可.
【解析】
(I)证明:连接BD,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,
∴△ABD为正三角形,
∵E为AB的中点,
∴ED⊥AB,
在直六面体ABCD-A1B1C1D1中:
平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB,
∵ED⊂面ABCD∴ED⊥面ABB1A1,
∴平面A1ED⊥平面ABB1A1.
(II)【解析】
由(I)知:ED⊥面ABB1A1
∵A1E⊂面ABB1A1
∴A1E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中:AA1⊥面ABCD,
由三垂线定理的逆定理知:AE⊥ED,
∴∠A1EA=60°,
取BB1的中点F,连EF.AB1,则EF,在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中:AB1DC1
∴EF
∴E.F.C1、D四点共面,
∵ED⊥面ABB1A1且EF⊂面ABB1A1
∴EF⊥ED
∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角,
在Rt△A1AE中:,
在Rt△EBF中:,
在Rt△A1B1F中:
∴在Rt△A1EF中:,
∴二面角A1-ED-C1的余弦值为,
(III)过F作FG⊥A1E交A1E于G点
∵平面A1ED⊥面ABB1A1
且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E
∴FG⊥平面A1ED,
即:FG是点F到平面A1ED的距离,
在Rt△EGF中:
∴
∴,
∵EF且E.D∈面A1ED
∴点C1到平面A1ED的距离为.