Question

已知S_n是数列{a_n }的前n项和，S_n满足关系式，
（n≥2，n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{u_n}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M成立，称数列{u_n} 为“差绝对和有界数列”，
证明：数列{a_n}为“差绝对和有界数列”；
（3）根据（2）“差绝对和有界数列”的定义，当数列{c_n}为“差绝对和有界数列”时，
证明：数列{c_n•a_n}也是“差绝对和有界数列”．

Answer

（1）整理题设递推式得 进而表示出Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn，求得an+1和an的递推式，整理得2n+1an+1=2n•an+1，进而根据bn=2nan，求得bn+1-bn=1，进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列．
再根据数列{bn}的首项和公差，求得数列的通项公式，进而根据bn=2nan求得an．
（2）把an代入|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|中，利用利用错位想减法求得sn-sn＜，进而判断出以 恒成立，根据“差绝对和有界数列”的定义，证明出数列{an}为“差绝对和有界数列”．
（3）数列{an}，{bn}都是差绝对和有界数列，则有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1，|bn+1-bn|+|bn-an-1|…++|b2-b1|≤M2，下面只需验证|an+1bn+1-anbn|+|anbn-an-1bn-1|+…+|a2b2-a1b1|≤M．
【解析】
（1）当n≥2时，，

所以 ，
即 ，
所以2n+1an+1=2n•an+1
即bn+1-bn=1，（n≥2），又b2-b1=22•2×a1=1
所以，bn+1-bn=1，n∈N+即{bn}为等差数列
∴
（2）由于|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=++…+
sn-sn＜
所以 恒成立，
即[an]为“差绝对和有界数列”．
（3）若数列{an}{cn}是差绝对和有界数列，则存在正数M1．M2，
对任意的n∈N•，有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1，|cn+1-cn|+|cn-cn-1|+…+|c2-c1|≤M2
注意到|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M1+|a1|
同理：|cn|≤M2+|c1|
记K2=M2+|c2|，则有K2=M2+|c2||an+1cn+1-ancn|=|an+1cn+1-ancn+1+ancn+1-ancn|≤|cn+1||an+1-an|+|an||cn+1-cn|≤K1|an+1-an|+k1|cn+1-cn|
因此K1（|cn+1-cn|+|cn-cn-1|+|a2-a1|）≤k2M1+k1M2
+K1（|cn+1-cn|+|cn-cn-1|+|a2-a1|）≤k2M1+k1M2
故数列{ancn}是差绝对和有界数列．