Question

已知数列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-pa_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k为常数，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．

Answer

（1）根据an=pn+λqn可得an+1-pan的表达式，整理可得为常数，进而可判断数列{an+1-pan}为等比数列．
（2）取数列{an}的连续三项an，an+1，an+2把an=pn+λqn代入an+12-anan+2整理可知结果不为0，进而可判断an+12≠anan+2，即数列{an}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）由3n+2n=5n整理得，设则可知f（x）为减函数，故可判定f（x）=1的解只有一个，从而当且仅当n=1，3n+2n=5n成立，同样的道理可证当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；当k=2时，B∩C={（1，5）}，当k=4时，B∩C={（2，25）}．
【解析】
（1）∵an=pn+λqn，
∴an+1-pan=pn+1+λqn+1-p（pn+λqn）=λqn（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴为常数
∴数列{an+1-pan}为等比数列
（2）取数列{an}的连续三项an，an+1，an+2（n≥1，n∈N*），
∵an+12-anan+2=（pn+1+λqn+1）2-（pn+λqn）（pn+2+λqn+2）=-λpnqn（p-q）2，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpnqn（p-q）2≠0，即an+12≠anan+2，
∴数列{an}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）当k=1时，3n+kn=3n+1＜5n，此时B∩C=∅；
当k=3时，3n+kn=3n+3n=2•3n为偶数；而5n为奇数，此时B∩C=∅；
当k≥5时，3n+kn＞5n，此时B∩C=∅；
当k=2时，3n+2n=5n，发现n=1符合要求，
下面证明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3n+2n=5n得，
设，则是R上的减函数，
∴f（x）=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时，
即3n+2n=5n，此时B∩C={（1，5）}；
当k=4时，3n+4n=5n，发现n=2符合要求，
下面同理可证明唯一性（即只有n=2符合要求）．
从而当且仅当n=2时，
即3n+4n=5n，此时B∩C={（2，25）}；
综上，当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；
当k=2时，B∩C={（1，5）}，
当k=4时，B∩C={（2，25）}．